Curso Básico I

Introducción a la Optimización

Gilberto Calvillo Vives
Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México gilberto@matcuer.unam.mx

En este curso nos concentraremos en el problema de programación cuadrática
convexa:
min c T x + 2 1 x T Qx
(1)
Ax = b (2)
x > 0 (3)
En donde la matriz Q es simétrica y positiva definida.
Primero estudiaremos el problema sin restricciones, es decir donde las condiciones (2) y (3) no se incluyen. Este problema se resuelve usando técnicas de calculo diferencial y álgebra lineal. En seguida estudiaremos el problema en donde se consideran las restricciones de igualdad (2) pero no las de desigualdad.
En este caso usaremos multiplicadores de Lagrange para su solución. Después veremos el caso en el cual la función objetivo no contiene el término cuadrático, es decir Q = 0. En este caso el problema que nos queda es el de Programación Lineal, el cual comentaremos brevemente indicando las condiciones de optimalidad derivadas de la dualidad y los métodos disponibles para su solución.
Finalmente consideraremos el problema completo el cual se abordará usando las condiciones de Kuhn y Tucker.
A lo largo del curso se mencionarán las aplicaciones de cada uno de los problemas particulares, entre ellas mı́nimos cuadrados, balanceo de matrices y teorı́a de juegos.
Los requisitos para tomar el curso son Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial de varias variables.