Curso Avanzado I

Leyes de conservación hiperbólicas

Dr. Gerardo Hernández Dueñas
IMATE-Juriquilla-UNAM
hernandez@im.unam.mx

Requisitos: Laptop con MATLAB instalado.
4 sesiones (la primera de 1 hora y las otras tres de 2 horas c/u)
5 horas y media de teoría y 1 hora y media de prácticas.
Temario
Aspectos generales de leyes de conservación hiperbólicas (1 hora teórica).

  • Flujo y variables conservadas.
  • Forma conservativa y quasi-lineal.
  • Ecuaciones escalares.
  • Ejemplo de aplicaciones: Ecuación de Euler para dinámica de gases.
  • Otras aplicaciones: aerodinámica, meteorología, astrofísica, magneto-hidrodinámica, flujos
    multifásicos.

El método de las características para leyes de conservación (1.5 horas de teoría + 0.5 horas
de práctica).

  • Ecuación de transporte (lineal) con coeficientes lineales $u_t+a(x)u_x=0$.
  • Cálculo de características en varios ejemplos: $a(x)=a_o$, $a(x)=x$, $a(x)=x^2$, etc.
  • Ecuación de Burgers (no lineal) $u_t+uu_x=0$.
  • Observación de ondas de choque al haber intersección de curvas características.
  • Cálculo del tiempo de primer intersección se las curvas: $u_o(x) = x$, $u_o(x)$ lineal por
    pedazos.

Efectos de viscosidad en leyes de conservación (1.5 horas de teoría + 0.5 horas de práctica).

  • La ecuación del calor $u_t = \epsilon u_{xx}$.
  • Ecuación de Burgers viscosa $u_t+u u_x = \epsilon u_{xx}$.
  • La transformada de Cole-Hopf.

Leyes de conservación hiperbólicas escalares (1.5 horas de teoría + 0.5 horas de práctica).

  • Forma cuasi-lineal y forma integral de una ley de conservación.
  • Soluciones débiles y condiciones de Rankine-Hugoniot.
  • Ondas de choque y rarefacción.
  • Soluciones numéricas para la ecuación de Burgers y la ecuación del tráfico.

Referencia:
o Numerical Methods for Conservation Laws. Randal J. LeVeque. Lectures in Mathematics, ETH
Zürich. Kirkhauser.